Vis-via方程式的推導 (STK Astrogator)

17 世紀末，萊布尼茲（Gottfried W. Leibniz）用 vis viva 這個詞描述物體的「活力」，其數學量為 mv²。

Vis-viva equation最早是牛頓在二體問題中推導出的軌道速度–位置關係式，後來沿用「vis viva」這個歷史名詞命名，因此稱為 vis-viva方程式。

Vis‑viva equation 在 STK Astrogator 裡不是「理論背景」而已，它是Astrogator 所有軌道段（Propagate、Keplerian、Targeting、Differential Corrector）背後的速度–位置–能量關係的基礎。

1️⃣ Astrogator 的 Kepler Propagator 本質上就是在解 Vis‑viva

Astrogator 的 Keplerian Propagator（不含推力）做的事情就是：

• 用 Vis‑viva 決定當下速度

• 用幾何關係決定軌道位置

• 用時間積分更新真近點角/偏近點角

只要你在 Astrogator 裡 Propagate 一段無推力軌道，你就是在用 Vis‑viva。

2️⃣ 所有 Δv 變軌計算都 implicitly 用到 Vis‑viva

Astrogator 的：

• Impulsive Maneuver

• Finite Maneuver

• Target Sequence

• Differential Corrector

在做 Δv 設計時，會依賴 Vis‑viva 來判斷：

• 變軌後的半長軸 a

• 新軌道的速度 v

• 新軌道的能量 ε

例如 Hohmann 轉移（Astrogator 常見任務）第一個 impulsive burn 後：

Astrogator 在背景就是用這個式子算出新速度，再 propagate。

3️⃣ Astrogator 的「軌道元素」與「狀態向量」互換都依賴 Vis‑viva

當你在 Astrogator 裡：

• 用 Set State 設定軌道元素（a, e, i, RAAN, AOP, TA）: 半長軸 (a - semi-major axis)、離心率 (e - eccentricity)、軌道傾角 (i - inclination)、升交點經度 (RAAN - Right Ascension of the Ascending Node)、近點幅角 (AOP - Argument of Periapsis)，以及真近點角 (TA - True Anomaly)，這六個參數（通常還會加上一個時間參數）能唯一確定軌道上的位置和時間點。 

• 或用 Cartesian 狀態（r, v）

Astrogator 會計算：

因此，Vis‑viva 是 Astrogator 在元素與向量之間轉換的核心公式。

4️⃣ 在 Targeting 裡，Vis‑viva 是「收斂行為」的基礎

Astrogator 的 Differential Corrector 在調整：

• 半長軸 a

• 近心點高度

• 遠心點高度

• 週期

• TOF

• 軌道能量

此時，Jacobian 的偏導數都會用到 Vis‑viva 的形式。

這些偏導數將決定：

• Targeting 是否能收斂

• 收斂速度快不快

• 變軌參數是否可觀測

  
  

總結（給 STK Astrogator 使用者）

Vis‑viva 是 Astrogator 的底層語言：它連結了狀態向量、軌道元素、能量、變軌、propagation 與 targeting。 Astrogator 的軌道設計能力，不能沒有Vis‑viva。